浅探等差、等比数列性质的灵活运用

数列的相关知识在高中数学教学中占有相当重要的位置，正确而熟练地掌握数列的性质对于解决数列问题有很大的帮助。

关键词：数列；性质；运用

1. 对于等差数列{an}，任意两项an、am的关系是：an=am+(n-m)d或am＝an＋（m－n）d
例：｛an｝为等差数列，已知a5=2,a3=1，求通项公式
解法一：∵an＝a1＋（n-1)d
∴a5＝a1＋4d＝2
a3＝a1＋2d＝1
解得a1＝0，d＝12
∴an＝a1＋（n-1)d=12(n-1)
解法二：由等差数列性质可得：
a5＝a2＋2d
而a5＝2，a3＝1
∴2d＝1，d＝12
∴an＝a5＋（n－5）d＝2＋12（n－5）＝12（n－1）
第二种方法方便、快捷，而第二种方法恰恰是运用了等差数列的性质。
2. 对于等差数列｛an｝来说，如果m＋n＝p＋q（m、n、p、q都是正整数)，那么就有am＋an＝ap＋aq
例：｛an｝为等差数列，已知a3＝5，a17＝11，求s19＝？
解法一：根据题意可得：
a3＝a1+2d=5………1
a17=a1+16d=11……2
②-①:14d=6,d=37
a1=297
∵sn=na1+n(n-1)d2
∴s19=19a1+19(19-1)d2
=19×297+19×182×37
=5517+5137=10647=152
解法二：
∵｛an｝为等差数列
∴sn=n(a1+an)2
s19=19(a1+a19)2=19(a3+a17)2=19(5+11)2=19×8=152
很显然解法二非常快捷，计算量小。
3. ｛an｝为等比数列，sn为其前n项和，则有：sm,s2m-sn,s3m-s2m也成等比数列
例：已知等比数列｛an｝的前m项和sm＝10，前2m的和s2m=10，求s3m=?
解法一：①假设公比q=1时，sm=ma1=10,s2m=2ma2=30
显然是矛盾的，因此公比q=1是错误的
②公比q≠1,sm=a1(1-qm)1-q=10①
s2m=a1(1-q2m)1-q=10②
②÷①:1+qm=3qm=2
由①和qm=2可得:a11-q=-10
因此s3m=a1(1-q3m)1-q
=a1(1-qm)(1+qm+q2m)1-q
=10×(1-2)(1+2+4)
=10×7
=70
解法二：∵{an}是等比数列
∴sm,s2m-sm,s3m-s2m

即10,20,s3m-30也成等比数列
∴10（s3m-30)=202
∴s3m-30=40
s3m=70
两种解法一对照，第二种方法太简便了。
综上所述，数列性质的灵活运用的确可以达到简捷运算，化难为易的目的。

 

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